version 1

咱的身体的记忆力一向不太好。所以写一些备忘录

比如说a部001类的001篇。

其实我上午以及写了很多。只不过因为没有备份把网页关掉了，导致我已经写好的东西没了。只好从头开始写。

这是给汝的备忘录。吾亲爱的此身。希望汝仍然可以记得一切的一切。

padic中，我们可以对\mathbb{Q}赋予一个范数 | - |_p 。

| - |_p有三个基本的性质。当然作为赋范自然满足最基本的强三角不等式。这三个性质对于吾的身体来说是最基本并且无需回忆的。虽然证明是琐碎的，但是在这里写下证明对咱的回忆来说基本上不会有任何意义。

不过对于赋范，我并不习惯于用| - |_p来写诸多证明。一般我会选择用赋值v_p( - ) ，来进行等价的表述。

定义：v_p( p^k \frac{m} {n} )=k，以及|0|_p=0。

remark #.1 : 定义|0|_p=0。由于除了0以外，|a|_p=exp( -1 * v_p(a) )。所以记v_p(0)=inf ，其中inf : \mathbb{Z}∪{inf}。并且对于任何m:\mathbb{Z}，inf > m。

Q_p最基本的定义方式有两种。一种分析式的，即通过依赖于\mathbb{Q}上赋范得到的定义方式。另外一种代数式的，即通过范畴论上的极限得到的。这里我们要给出这两者的定义以及良定义的证明和这两种定义的同构的证明。

这里我参考《数论I--Fermat的理想和类域论》 pp48-61来查找我需要的大多数定义。

于是第一部分先给出分析式的定义和证明

定义柯西列{a_n}_n为：

数列{a_n}_n，n : N^+，a_n : \mathbb{Q}。并且对于任意的k : \mathbb{Z}，存在N : N+。任意的m,n : N+，m,n>N，v_p(a_m-a_n)>k。

于是我们习惯性地需要分大概5部分来证明柯西列的定义方式是良定义的。

1.柯西列间的加法，并且证明加法是良定义的。

{a_n}_n+{b_n}_n={c_n}_n，对于任意的n : N+，c_n=a_n+b_n。

我们需要证明{c_n}_n仍然是柯西列。

证明：对于任意的k : \mathbb{Z}，存在N : N+。任意的m,n : N+，m,n>N，v_p(a_m-a_n)>k，v_p(b_m-b_n)>k。所以v_p(c_m-c_n)=v_p( (a_m-a_n) + (b_m-b_n) ) >= min(   v_p(a_m-a_n) ，v_p(b_m-b_n)  ) >k 。

remark #.2 : 等价于在赋范中应用强三角不等式那一条。

2.定义柯西列间的等价类，并且证明等价类是良定义的。

定义：如果对于任意的k : \mathbb{Z}，存在N : N+。任意的m : N+，m>N，v_p(a_m-b_m)>k。那么 {a_n}_n 等价于 {b_n}_n。

我们需要证明传递性和对称性，来说明等价关系为良定义的。

传递性：{a_n}_n 等价于 {b_n}_n，{b_n}_n 等价于 {c_n}_n，那么{a_n}_n 等价于 {c_n}_n。

证明：对于任意的k : \mathbb{Z}，存在N : N+。任意的m : N+，m>N，v_p(a_m-b_m)>k，v_p(b_m-c_m)>k。所以v_p(a_m-c_m)=v_p( (a_m-b_m) + (b_m-c_m) ) >= min(   v_p(a_m-b_m) ，v_p(b_m-c_m)  ) >k。

对称性：如果{a_n}_n 等价于 {b_n}_n，那么{b_n}_n 等价于 {a_n}_n。

证明：对于任意的k : \mathbb{Z}，存在N : N+。任意的m : N+，m>N，v_p(a_m-b_m)>k。所以v_p(b_m-a_m)=v_p(a_m-b_m)>k。

3.存在x : \mathbb{Q}，到柯西列{x_n}_n={x，x，x，......}的嵌入。

4.说明柯西列也具有范数，并且范数是良定义的。

除去等价于0={0，0，0，......}的柯西列以外，

存在K : \mathbb{Z}，存在N : N+。对于任意的m : N+，m>N，v_p(a_m)-K=0。

证明：已知对于良序集，数学归纳法成立

步骤1：1 : N+，v_p(a_1)=k_1，存在N_2 : N+ 。N_2>1，任意的m,n>N_2-1。v_p(a_m-a_n)>k_1