扩展自然变换是一种类似于自然变换的东西。他的基础是一个六边形交换图图，在双函子的第一个对象等于第二个对象的时候行使自然变换。当他进行一部分退化的时候，就可以得到一些被叫做扩展自然变换的四边形交换图。（见gtm5或者nlab） 扩展自然变换可以用来定义一些叫做end或者coend的对象。我不知道我应不应该把他们翻译成终结和起始。总之，他们是一种极限或者余极限：一个双函子到一些常值函子的扩展自然变换，成为了一个交换图。对于到这些常值函子，或者说交换图来说，存在的一个极限或者余极限就是end或者coend。（见gtm5和nlab） 这些符号看起来像切空间+余切空间的缩并。但我并不是很懂这个。 end或者coend可以用来定义在完备还是余完备的范畴上的Kan扩展。比如说coend可以定义一个左Kan扩张：Lan。