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《无穷范畴》读书笔记 - MBH - 05-31-2024
主要参考kerodon那本，出处：https://kerodon.net/
第一章，无穷范畴的语言
代数拓扑的主要目标就是用代数或者组合不变量的方式理解拓扑空间。这下面举了两个例子
第一个例子是说：对于每个拓扑空间X，我们都有一个点集\pi_0(X)。这个点集是X上所有点的一种等价类。
这个等价类的定义是，假设我们有一个经典的拓扑空间：R的局部：[0,1]。以及拓扑空间X。假设我们有个[0,1]到X的连续映射p，令p(0)=x_1属于点集X，p(1)=x_2属于点集X。那么我们就把他叫做：点x_1在“\pi_0(X)的意义下”等价于点x_2。
最后，这些点的全部等价类构成了一个集合：\pi_0(X)。这就是一个不变量的例子。
第二个例子是基本群或者叫做在x点上的第一同伦群：\pi_1(X,x)。也是说：
对于每个拓扑空间X，我们任取一个在 例子一 意义下等价的点，都可以构造这样一个集合。
同样对于每个映射p：[0,1] \to X。其中p是一个连续映射，并且要求p(0)=x,p(1)=x。全部这些映射p在 同伦等价 的意义上构成了一个集合，记作：\pi_1(X,x)。
其中同伦等价是指：如果我们能够把两个连续映射f，g : M \to N 。放到一个连续映射H: [0,1] x M \to N 的两端。既 H(0,M)=f(M)，H(1,M)=g(M)。那么就称f于g是同伦等价的。
当然这个集合上有一个显然的群结构：p * q=h。既h定义为h(0)=q(0)，h(1/2)=q(1)=p(0)，h(1)=p(1)。显然可以证明集合 \pi_1(X,x)是一个群：\pi_1(X,x)。也显然可以严格证明：对于任意在\pi_0(X)意义下等价的点：x，y。\pi_1(X,x)和\pi_1(X,y)有一个典范的等价。
额外的，由于\pi_1(X,x)与\pi_1(X,y)是群等价，所以(自然)也是集合等价。
因为例子 \pi_1(X,x)是一个群。自然也是一个拓扑X的代数不变量。
诶，对了 代数不变量 /组合不变量 的应用有没有人类好奇的。如果没有好奇的人的话 接下来是一点抽象的内容。
出于很多原因，把集合\pi_0(X)和集合（群）\pi_1(X,x)们组合成一个单一的数学对象是很有用的。对于任意的拓扑空间X，我们都有（伴随有）一个不变量：\pi_{≤1}(X)。这个不变量（记号：小写的派 小于或者等于一）被叫做 基本群胚 。
这（基本群胚）是一个范畴（categoy）：他的 object 是X上的全部点，而 morphism 是全部 同伦等价 意义下的 映射 p：[0, 1] \to X，并且要求p(0)=x，p(1)=y。
其中object在汉语中一般被翻译成 对象（范畴的对象），morphism一般被翻译成 态射（范畴的态射）。
因此，集合 \pi_0(X) 可以被看做 范畴 \pi_{≤1}(X) 的对象的 同构类（范畴意义下） 。而 基本群 \pi_1(X,x) 们可以被认为是 范畴 \pi_{≤1}(X) 上每一个对象 点x 上的自同构群（也是范畴意义下）。
形式化的范畴论可以方便我们把 集合\pi_0(X) 和基本群们 \pi_1(X,x) 简单的打包成一个 方便的 新的 数学不变量当中。
因此，基本群胚是一个拓扑空间上非常重要的不变量。但是基本群胚 并不是一个完整的不变量。尤其是，他不能包括更高阶的同伦群的信息（大于等于二）：\pi_n(X,x)，其中n≥2。 因此，我们自然会想提出以下问题：
问题 1：如果X是一个拓扑空间，我们能否导出一个 范畴论意义下的不变量 ，同时还能 秉承着 基本群胚 时的精神。并且包含了拓扑空间X上的所有 同伦（群） 的信息呢？
现在我们来着手解决问题。
不过在，着手解决问题前。有一些很麻烦的事情，就是我们接下来要用到单纯集。可能还有一点kan扩张。这个感觉有一些难讲。
那让我先来讲单纯集
对于一个非负整数，我们可以定义一个全序集（也可以叫做线序集）[n]：{0，1，2，3，......，n}。其中序结构按照i
我们把这个 单纯形 范畴记作 Δ 。
自然地，我们知道 单纯形 范畴 等价于 非空有限 全序集 构成的范畴。
如果C是一个范畴C，一个C上的 单纯对象 是一个 单纯形范畴 的反范畴（Δ^{op}） 到 范畴C的 函子A_{•} 。一个C上的 余单纯对象（cosimplicial object） 是一个 单纯形范畴（Δ）到 范畴C的 A^{•}。
我们把 函子：单纯对象 A_{•} 在 余单纯形（单纯形的反范畴 Δ^{op}）上的取值（比如说取对象[n]），记作A_{n}。同理 把 函子：余单纯对象 A^{•}在 单纯形上的取值 记作：A^{n}。
如果我们取范畴C为集合构成的范畴：集合范畴 Set。那么就把 集合范畴上的单纯对象 A_{•}：Δ^{op} \to Set 叫做 单纯集。
这些全体 单纯集函子 构成 了一个 函子范畴：Fun( Δ^{op}，Set)。（注意对于一个函子范畴Fun(A,B)，范畴的对象是 全部的A到B间的函子。范畴的态射是函子间的 自然同态 ）。以后，单纯集的函子范畴 Fun( Δ^{op}，Set) 用记号：Set_{Δ} 标记。
由于集合范畴的 全部（小）极限和（小）余极限都存在。所以可以通过一些办法证明 单纯集范畴（Set_{Δ}）的（小）极限和（小）余极限都存在。（这个先当作一个结论就好，咱暂时也没写出来证明，有时间可能会补上）。
此外，如果I是一个（小）范畴。对于函子F，我们可以证明一个关于函子F 的极限lim F的关系式，和一个关于函子F 的余极限 colim F的关系式。